本文将会介绍共识定理[1]和交易不可能定理[2]。让我们先从 Bacharach 的侦探故事[3]开始讲起。

*故事中的人物均为化名。

一起谋杀案发生。

警察局长安排了两名侦探李雷和韩梅梅处理此案，并严格指示他们独立工作，不许交换任何信息。李雷和韩梅梅两人上的是同一所警察学校；所以给定相同的线索，他们会得出相同的结论。但是，由于他们将独立工作，因此他们可能得到完全不同的线索。在三十天结束时，每个人都要决定逮捕谁（可能没有人）。在第三十天的前一天晚上，他们在总部的茶水间碰巧遇到，开始谈论这个案子。按照他们收到的指示，他们没有交换任何实质性信息及线索；但两人都是自信的人，都觉得告诉对方自己打算逮捕谁并没有什么坏处。因此，当他们离开茶水间时，李雷将逮捕谁是他们之间的常识，而韩梅梅将逮捕谁也是他们之间的共识。

结论：他们逮捕了同一个人；尽管并不清楚彼此的线索。

这个故事想阐述的核心思想是，当两个理性的人拥有相同的先验（上同一所警官学校），即使他们拥有不同的信息（线索），当他们的观点是共识时，他们一定会达成一致。

Aumann 在他1976年的论文 Agree to disagree 里形式化了“共识”这一概念，并从数学上证明了以上思想：理性的人不可能和而不同[1]。这里的共识指“李雷知道韩梅梅知道李雷知道韩梅梅知道......”。举个简单的例子，在他们会面前，李雷可能认为甲是第一嫌疑犯人，而韩梅梅认为乙是。此时二人并未达到共识，因为李雷可能并不知道韩梅梅认为乙是第一嫌疑犯，就算他知道，他也不一定知道韩梅梅知道他知道韩梅梅认为乙是第一嫌疑犯。总而言之，共识是一个像俄罗斯套娃一样递归定义出来的概念。然而，一旦李雷计划逮捕嫌疑犯 X，韩梅梅计划逮捕嫌疑犯 Y 成为两人的共识，那么 X 一定等于 Y。（作者注：这时如果是狗血电影，很可能 X=Y=警察局长。）

Aumann 主要是利用贝叶斯的概率语言来证明，而上文提到的侦探故事是非贝叶斯的语言，感兴趣的读者可以阅读相关文献[3]。稍微偏离一下主题，有个很有意思的观察是，两位侦探达成的共识可能并未汇总他们所有的线索，这和两位侦探的信息结构有关[4]。

回到主题，针对理性人不可能和而不同的定理，Milgrom & Stokey 证明了一个十分有意思的推论——交易不可能定理[2]。简单来说，当商品的价值对交易者相同时，两个理性且风险中立的交易者不可能交易。以上市公司为例，其股票的价值对大部分交易者相同。因此，该定理表明在以盈利为目的的情况下，股票交易不会发生。具体来说，不管两个交易者之前对商品未来的价值有什么不同的私有信息，他们一定会在均衡点达到对商品价值的共识，那么不管如何交易，一定有一方吃亏，因而交易就不会产生。

举一个不是十分严谨的例子。李雷手上持有 Z 公司的股票，他提议可以低于市场价卖给韩梅梅。此时，

1. 韩梅梅立马知道李雷查到的线索将对 Z 公司十分不利，她将不会买；
2. 亦或韩梅梅欣然同意，那么李雷就知道韩梅梅知道其它他不知道的线索，他会重新提高价钱......

直到最后二人都同意每股的价值为30元。但是，在这种情况下，李雷不会同意以<30元的价格将股票卖给韩梅梅，韩梅梅也不会同意以>30元的价格购买。如果定价30元，那么交易与否对二人没有实质区别，风险中立的二人将选择不交易。

当然在一些其它条件下，交易不可能定理不成立。例如交易者有对冲风险的需求，或者从根本上来说，共同先验不成立或交易者的理性不是共识。简单来说，如果李雷自认为自己比韩梅梅聪明，且韩梅梅也认为自己比李雷聪明，那么交易就会发生。因为他们彼此都认为对方是“冤大头”。

回到标题。AI 会交易吗？不管是工业界还是学术界，用 AI 代替人来做更加理性的决策都是一种趋势。那么当 AI 达到近似绝对理性的时候，股票市场的交易还会发生吗？这里暂时不考虑对冲风险等需求，重点考虑以赚取利润为目的的交易。

虽然 AI 们可以收集到不同的信息，但是它们的理性可以成为彼此的共识，也很可能从同一个“警官学校”毕业。最重要的是，就算不同的 AI 拥有不同的算力和储存量，它们不会拥有人类的“能力”——过度自信：认为自己是最聪明的。事实上，它们甚至可能不需要花时间得到共识，只要它们知道共识一定会达到，交易就没有任何意义。

那么未来还会有股市吗？经济上的泡沫还会在吗？更进一步，如果和而不同消失，双方不会同时认为自己赢的机率更大，战争是否会消失？当然这些思考忽略了很多细节。但是如果未来 AI 完全代替人们做接近绝对理性的决策，那么世界到底会产生一个怎样的变化是一个值得思考的问题。

换句话说，当限制我们自由的不是法律、道德、人性，而是我们依托出去的理性时，未来将会怎样？欢迎大家讨论！

参考资料：

[1] Aumann, R. J. (1976). Agreeing to Disagree. The Annals of Statistics, 4(6), 1236-1239.

[2] Milgrom, P., & Stokey, N. (1982). Information, trade, and common knowledge. Journal of economic theory, 26(1), 17-27.

[3] Bacharach, M. (1985). Some extensions of a claim of Aumann in an axiomatic model of knowledge. Journal of Economic Theory, 37(1), 167-190.

[4] Kong, Y., & Schoenebeck, G. (2022). False Consensus, Information Theory, and Prediction Markets, accepted by The 14th Innovations in Theoretical Computer Science (ITCS).

文 | 孔雨晴